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G + U, G · U ∈ Q. 30 folgt G + U, G · U ∈ Z. Es ergibt sich ∆F = (G − U)2 = (G + U)2 − 4G · U ≡ (G + U)2 ≡ 0, 1 mod 4 . 36 ist ∆f > 0 f¨ ur total-reelles F . 45 (von Kronecker) Ist F ein algebraischer Zahlk¨orper mit Signatur {r1 , r2 }, so ist das Vorzeichen von ∆F gleich (−1)r2 . 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 41 Beweis: Sei [F : Q] = n und B = {α1 , . . , αn } eine Ganzheitsbasis von F . Mit den Bezeich(j) nungen aus dem vorangehenden Beweis ist ∆F = det αk (j) det αk mit gewissen a, b ∈ R und i = = a + bi 2 , wobei ∈C √ (j) −1.

Pr f¨ ur gewisse pi ∈ P, pi n. Trivialerweise gilt mζn ,Q (ζn ) = 0. ·pr ) = 0 . ¨ 2 ARITHMETIK IN ZAHLKORPERN 62 Damit folgt Φn (x) | mζn ,Q (x). Da schon gezeigt wurde, dass Φn (x) ∈ Z[x], und ofuhrenden Koeffizienten 1 besitzt, bleibt wegen der Irreduzibilit¨at von fenbar Φn (x) f¨ mζn ,Q (x) nur Φn (x) = mζn ,Q (x). 7 F¨ ur n ∈ N und eine primitive n-te Einheitswurzel ζn gilt [Q(ζn ) : Q] = ϕ(n). 6 gilt [Q(ζn ) : Q] = deg mζn ,Q = deg Φn = ϕ(n) . 8 F¨ ur F = Q(ζn ) mit einer primitven n-ten Einheitswurzel ζn gilt ∆F | nϕ(n) .

Selbstverst¨andlich ist 1, 13 eine Q-Basis von F , wo√ √ bei 1 und 13 ganzalgebraisch sind (x2 − 13 ∈ Z[x]). Trotzdem ist 1, 13 kei√ ne Ganzheitsbasis von F , denn α ∈ / Z + Z 13. Es l¨asst sich nachrechnen, dass √ OF = Z[ 21 (1 + 13)]. 33 Sei F = Q(α) algebraischer Zahlk¨orper mit [F : Q] = d. Ist B = {α1 , α2 , . . , αd } eine Q-Basis von F und sind Θ1 , . . , Θd die Einbettungen von F in C, so heißt discr (B) := det(Θj (αi ))21≤i≤d 1≤j≤d ur eine spezielle Basis B der Form Diskriminante der Basis B.

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