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By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce most suitable quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, est consacré aux strategies fondamentaux de l algèbre commutative. Il comprend les chapitres: 1. Modules plats; 2. Localisation; three. Graduations, filtrations et topologies; four. Idéaux premiers associés et décomposition primaire.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1969.

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Il en est ainsi lorsque M' est facteur direct de M, ou lorsque M/M1 est plat, mais ces deux conditions ne sont pas nécessaires (exerc. 4). a ) Montrer que, pour que M' soit un sous-module pur de M, il faut et il sufit que, si est une famille finie d'éléments de M', (xi)1EJ une famille d'éléments de M tels que mt = C xjajr pour tout i E 1 et i€J pour une famille (ajt) d'éléments de A, alors il existe une famille (xi)iE d'éléments de M' tels que ml = xiaii pour tout i E 1. , chap. VII, $ 2, exerc.

Rappelons que cp,(M) est le R-module à droite défini par z . r = x. , chap. , § 1, no 13). On applique alors la prop. 8 avec A = S, B = R, E = M et F = S, S étant muni de la structure de (S, R)-bimodule définie par cp ; le R-module à droite M @S S n'est autre alors que q*(M)- PROPOSITION 9. , d chap. , 3 6, no 6). S i chacun des E, est un A,-module plat, E est un A-module plat. E n effet, soit E&= E,@a,A, où A est considéré comme A,module a gauche au moyen de 1'homomorphisme canonique A, -+ A ; on sait que le A-module à droite E est canoniquement isomorphe à lim EL (loc.

7 22) Soit E un A-module à gauche. Pour tout idéal à droite a de A, et tout élément a E A, on note a : a l'ensemble des x E A tels que ax G a, et a E : a l'ensemble des y E E tels que ay E aE. On a évidemment ( a : a)E c a E : a. Montrer que, pour que E soit plat, il faut et il suffit que, pour tout idéal à droite a de A et tout élément a E A, on ait l'égalité (a : a)E = a E : a . (Pour voir que la condition est nécessaire, considérer 6 la suite exacte de A-modules à droite O -+ (a: a)/a -+ Ad/a 5 Adla, où 4 est l'injection canonique et cp l'application déduite par passage aux quotients de la multiplication à gauche par a.

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